Soit \(P\in{\Bbb K}[X]\) un polynôme et \(\alpha\in{\Bbb K}\) un scalaire
On dit que \(\alpha\) est une racine de \(P\) si \(X-\alpha\) divise \(P\), autrement dit, s'il existe un polynôme \(P\in{\Bbb K}[X]\) tq \(P=(X-\alpha)Q\)
(Division de polynômes)
Théorème :
Soit \(P\in{\Bbb K}[X]\) un polynôme et \(\alpha\in{\Bbb K}\)
Alors \(\alpha\) est une racine de \(P\) si et seulement si \(\tilde P(\alpha)=0\)
Démonstration :
Corollaire :
Si \(\alpha_1,\ldots,\alpha_p\) sont \(p\) racines distinctes d'un polynôme \(P\in{\Bbb K}[X]\), alors le polynôme $$\prod^p_{k=1}(X-\alpha_k)$$ divise \(P\)
(Division de polynômes)
Démonstration :
Nombre de racines d'un polynôme
Corollaire :
Un polynôme non nul \(P\in{\Bbb K[X]}\) de degré inférieur ou égal à \(n\) admet au plus \(n\) racines distinctes
(Degré)
Corollaire :
Si \(P\in{\Bbb K[X]}\), de degré inférieur ou égal à \(n\) admet au moins \(n+1\) racines distinctes, alors \(P\) est nul
(Degré, Polynôme nul)
Corollaire :
Tout polynôme \(P\) qui admet une infinité de racines est le polynôme nul
(Degré, Polynôme nul, //Théorème fondamental de l'algèbre)
Démonstration :
